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規律問題1．某種球形病毒的直徑約是0.01納米，一個該種病毒每經過一分鐘就能繁殖出9個與自己完全相同的病毒，假如這種病毒在人體內聚集到一定數量，按這樣的數量排列成一串，長度達到1分米時，人體就會感到不適．（1米納米）（1）從感染到第一個病毒開始，經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是多少納米？（2）從感染到第一個病毒開始，經過多少分鐘，人體會感到不適？【答案】（1）從感染到第一個病毒開始，經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是1000納米；（2）從感染到第一個病毒開始，經過10分鐘，人體會感到不適．【解析】解：（1）由題意可知：經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是0.01×1×105=1000（納米）答：從感染到第一個病毒開始，經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是1000納米；（2）1分米=米納米而÷（0.01×1）=∴從感染到第一個病毒開始，經過10分鐘，人體會感到不適答：從感染到第一個病毒開始，經過10分鐘，人體會感到不適．2．你會求的值嗎？這個問題看上去很復雜，我們可以先考慮簡單的情況，通過計算，探索規律：（1）由上面的規律我們可以大膽猜想，得到_____；
（2）利用上面的結論求的值．（3）求的值【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由題可以得到（2）由結論得：（3）3．計算|1﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．【答案】【解析】解：
．4．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……解答下列問題：（1）按以上規律寫出第5個等式：—————— = ——————．（2）求的值．（3）求的值．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】解：（1）第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……第5個等式：；
故答案為：；；（2）；（3）．5．閱讀材料：求的值．解：設，將等式的兩邊同乘以2，得將下式減去上式得，即．即請你仿照此法計算：（1）填空：??????????．
（2）求的值．（3）求的值．（其中n為正整數）【答案】（1）15；（2）2047；（3）．【解析】解：（1）由題意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案為：15；（2）由題意可得，；（3）設，則，，，解得，，即的值是．6．在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，圖是年月份的日歷，我們用如圖所示的四邊形框出五個數．年月：
（1）將每個四邊形框中最中間位置的數去掉后，將相對的兩對數分別相減，再相加，例如：，．不難發現，結果都是．若設中間位置的數為，請用含的式子表示發現的規律，并寫出驗證過程．（2）用同樣的四邊形框再框出個數，若其中最小數的倍與最大數的和為，求出這個數中的最大數的值．（3）小明說：我用同樣的四邊形框也框出了個數，其中最小數與最大數的積是．請判斷他的說法是否正確，并說明理由．【答案】（1），見解析；（2）28；（3）正確，見解析【解析】（1）設中間位置的數為，左邊數為，右邊數，上面數，下面數為，則（2），，．（3）正確，(舍去)或者，可以存在．7．材料：若一個正整數，它的各個數位上的數字是左右對稱的，則稱這個正整數是對稱數．例如：正整數22是兩位對稱數；正整數797是三位對稱數；正整數4664是四位對稱數；正整數12321是五位對稱數．
根據材料，完成下列問題：（1）最大的兩位對稱數與最小的三位對稱數的和為___________（2）若將任意一個四位對稱數拆分為前兩位數字順次表示的兩位數和后兩位數字順次表示的兩位數，則這兩個兩位數的差一定能被9整除嗎？請說明理由．（3）如果一個四位對稱數的個位數字與十位數字的和等于10，并且這個四位對稱數能被7整除，請求出滿足條件的四位對稱數．【答案】（1）200；（2）一定可以，理由見解析；（3）3773【解析】解：（1）最大的兩位對稱數是99，最小的三位對稱數是101，，故答案是：200；（2）設個位和千位上的數字是a，十位和百位上的數字是b，則這兩位數分別是、，，它們的差是，這個數是9的倍數，所以這個數一定可以被9整除；（3）設這個四位數的個位數是x，則十位數是，這個數可以表示為，化簡得，令，則這個數是1991，令，則這個數是2882，
令，則這個數是3773，……令，則這個數是9119，其中只有3773能夠被7整除，∴滿足條件的四位數是3773．8．用棱長為的若干小正方體按如所示的規律在地面上搭建若干個幾何體．圖中每個幾何體自上而下分別叫第一層、第二層，，第層（為正整數)（1）搭建第④個幾何體的小立方體的個數為．（2）分別求出第②、③個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積．（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂需要油漆克，求噴涂第個幾何體，共需要多少克油漆？【答案】（1）；（2）第②個幾何體露出部分（不含底面）面積為，第③個幾何體露出部分（不含底面）面積為；（3）克．【解析】（1）搭建第①個幾何體的小立方體的個數為1，搭建第②個幾何體的小立方體的個數為，搭建第③個幾何體的小立方體的個數為，
歸納類推得：搭建第④個幾何體的小立方體的個數為，故答案為：30；（2）第②個幾何體的三視圖如下：由題意，每個小正方形的面積為，則第②個幾何體的所有露出部分（不含底面）面積為；第③個幾何體的三視圖如下：則第③個幾何體的所有露出部分（不含底面）面積為；（3）第20個幾何體從第1層到第20層小立方體的個數依次為，則第20個幾何體的所有露出部分（不含底面）面積為，因此，共需要油漆的克數為（克），答：共需要992克油漆．
9．閱讀下列解題過程：，，請回答下列回題：（1）觀察上面的解答過程，請寫出；（2）請你用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律；（3）利用上面的解法，請化簡：【答案】（1）；（2）；（3）9．【解析】（1）；故答案為：．（2）觀察前面例子的過程和結果得：；（3）反復運用得
====-1+10=9．10．先化簡，再求值：2x+y2-2x-y2x+y-5xy，其中x=2019，y=-1.【答案】2021.【解析】原式=4x2+4xy+y2-（4x2-y2）-5xy=4x2+4xy+y2-4x2+y2-5xy，=2y2-xy，當x=2019，y=-1時，原式=2×（-1）2-2019×（-1）=202111．觀察下列三行數，回答問題：-1、+3、-5、+7、-9、+11、……-3、+1、-7、+5、-11、+9、……+3、-9、+15、-21、+27、-33、……（1）第①行第9個數是___________第②行第9個數是___________第③行第9個數是___________（2）在第②行中，是否存在連續的三個數，使其和為83？若存在，求這三個數；若不存在，說明理由．（3）是否存在第m列數（每行取第m個數），這三個數的和正好為-99？若存在，求m；若不存在，說明理由．
【答案】（1）-17；-19；51．（2）存在，85，-91，89；（3）第列數不存在，理由見解析．【解析】（1）觀察到第①行的規律是，第②行的規律是將第①行的數-2，第③行的規律是，因此當n=9時，第①行的數為-17∴第②行的數為-17-2=-19，第③行的數為；（2）設第②行存在連續的三個數和為83，且第一個數為，若，即在第②行中的偶數次列，滿足第列的數為（其中為正偶數），則，得，即，符合題意，在第②行第44列，此時，連續的三個數依次為85，-91，89．若，即在第②行中的奇數次列，滿足第列的數為（其中為正奇數），則，得，即，，不符合題意，故舍去，綜上所述，存在這樣連續的三個數使和為83，依次為85，-91，89．（3）設存在第列數使三個數的和為-99，且此列第①行的數為，則第列第②行的數為，第③行的數為，，
得，又第①行中奇數次列為負，偶數次列為正，，即97在第①行第49列，應為負，故假設不成立，所以，這樣的第列數不存在．12．回答下列問題：（1）填空：___________________；_____________________；______________________．（2）猜想：___________________．（其中為正整數，且）；（3）利用（2）猜想的結論計算：①；②．【答案】（1）；；；（2）；（3）①2046；②682【解析】解：；
；；故答案為：；；；（2）根據（1）中的規律，可得猜想：（其中為正整數，且），故答案為：；（3）①；②
．
